基礎講座｜精密ポンプ技術 9-4. 摩擦抵抗の計算＜計算例1・2・3＞

計算例1

粘度：500mPa･s（比重1）の液をモータ駆動定量ポンプFXD1-08-VESE-FVSを用いて、次の配管条件で注入したとき。
吐出側配管長：20m、配管径：20A = 0.02m、液温：20℃（一定）

«手順1»
ポンプを（仮）選定する。
既にFXD1-08-VESE-FVSを選定しています。
«手順2»
計算に必要な項目を整理する。（液の性質、配管条件）
- （1）
  粘度：μ = 500mPa･s
- （2）
  配管径：d = 0.02m
- （3）
  配管長：L = 20m
- （4）
  比重量：ρ = 1000kg/m³
- （5）
  吐出量：Q_a1 = 1L/min（60Hz）
- （6）
  重力加速度：g = 9.8m/sec²
«手順3»
管内流速を求める。
式（3）にQ_a1とdを代入します。

管内流速は1秒間に流れる量を管径で割って求めますが、往復動ポンプでは平均流量にΠ（3.14）をかける必要があります。
«手順4»
動粘度を求める。式（6）
«手順5»
レイノルズ数（Re）を求める。式（4）
«手順6»
レイノルズ数が2000以下（層流）であることを確かめる。
Re = 6.67 < 2000 → 層流
レイノルズ数が6.67で、層流になるのでλ = 64 / Reが使えます。
«手順7»
管摩擦係数λを求める。式（5）
«手順8»
hfを求める。式（1）

配管長が20mで圧損が0.133MPa。吸込側の圧損を0.05MPa以下にするには…
20 × 0.05 ÷ 0.133 = 7.5m
よって、吸込側の配管長さを約7m以下にします。
«手順9»
△Pを求める。式（2）
△P = ρ・ｇ・hf ×10^-6 = 1000 × 9.8 × 13.61 × 10^-6 = 0.133MPa
«手順10»
結果の検討。
△Pの値（0.133MPa）は、FXD1-08の最高許容圧力である1.0MPaよりもかなり小さい値ですので、摩擦抵抗に関しては問題なしと判断できます。
- ※
  吸込側配管の検討
  ここで忘れてはならないのが吸込側の圧力損失の検討です。吐出側の許容圧力はポンプの種類によって決まり、コストの許せる限り、いくらでも高圧に耐えるポンプを製作することができます。
  ところが吸込側では、そうはいきません。水を例にとれば、どんなに高性能のポンプを用いてもポンプの設置位置から10m以下にあると、もはや汲み上げることはできません。（液面に大気圧以上の圧力をかければ別です）。これは真空側の圧力は、絶対に0.098MPa以下にはならないからです。しかも配管内やポンプ内部での圧力損失がありますので、実際に汲み上げられるのは5～6mが限度です。
  （この他に液の蒸気圧やキャビテーションの問題があります。しかし、一般に高粘度液の蒸気圧は小さく、揮発や沸騰は起こりにくいといえます。）
  「10-3. 摩擦抵抗の計算」で述べたように、吸込側は0.05MPa以下の圧力損失に抑えるべきです。
  この例では、配管20mで圧力損失が0.133MPaなので、0.05MPa以下にするためには
  から、配管を7.5m以下にすれば良いことになります。
  （現実にはメンテナンスなどのために3m以下が望ましい長さです。）

計算例2

粘度：3000mPa･s（比重1.3）の液をモータ駆動定量ポンプFXMW1-10-VTSF-FVXを用いて、次の配管条件で注入したとき。
吐出側配管長：45ｍ、配管径：40A = 0.04m、液温：20℃（一定）

油圧ポンプで高粘度液を送るときは、油圧ダブルダイヤフラムポンプにします。ポンプヘッド内部での抵抗をできるだけ小さくするためです。

«手順1»
ポンプを（仮）選定する。
既にFXMW1-10-VTSF-FVXを選定しています。
«手順2»
計算に必要な項目を整理する。（液の性質、配管条件など）
- （1）
  粘度：μ = 3000mPa･s
- （2）
  配管径：d = 0.04m
- （3）
  配管長：L = 45m
- （4）
  比重量：ρ = 1300kg/m³
- （5）
  吐出量：Q_a1 = 12.4L/min（60Hz）
- （6）
  重力加速度：g = 9.8m / sec²
«手順3»
管内流速を求める。
式（3）にQ_a1とdを代入します。
«手順4»
動粘度を求める。式（6）
«手順5»
レイノルズ数（Re）を求める。式（4）
«手順6»
レイノルズ数が2000以下（層流）であることを確かめる。
Re = 8.99 < 2000 → 層流
«手順7»
管摩擦係数λを求める。式（5）
«手順8»
hfを求める。式（1）
«手順9»
△Pを求める。式（2）
△P = ρ・g・hf × 10^-6 = 1300 × 9.8 × 109.23 ×10^-6 = 1.39MPa
«手順10»
結果の検討。
△Pの値（1.39MPa）は、FXMW1-10の最高許容圧力である0.6MPaを超えているため、使用不可能と判断できます。
そこで、配管径を50A（0.05m）に広げて、今後は式（7）に代入してみます。
これは許容圧力：0.6MPa以下ですので一応使用可能範囲に入っていますが、限界ギリギリの状態です。そこでもう1ランク太い配管、つまり65Aのパイプを使用するのが望ましいといえます。
このときの△Pは、約0.2MPaになります。

管径の4乗に反比例するため、配管径を1cm太くするだけで抵抗が半分以下になります。

計算例3

粘度：2000mPa･s（比重1.2）の液をモータ駆動定量ポンプFXD2-2（2連同時駆動）を用いて、次の配管条件で注入したとき。
吐出側配管長：10m、配管径：25A = 0.025m、液温：20℃（一定）
ただし、吐出側配管途中に圧力損失：0.2MPaのスタティックミキサーが設置されており、なおかつ注入点が0.15MPaの圧力タンク内であるものとします。

2連同時駆動とは2連式ポンプの左右のダイヤフラムやピストンの動きを一致させて、液を吸い込むときも吐き出すときも2連同時に行うこと。
吐出量は2倍として計算します。

«手順1»
ポンプを（仮）選定する。
FXD2-2（2連同時駆動）を選定。
«手順2»
計算に必要な項目を整理する。（液の性質、配管条件など）
- （1）
  粘度：μ = 2000mPa･s
- （2）
  配管径：d = 0.025m
- （3）
  配管長：L = 10m
- （4）
  比重量：ρ = 1200kg/m³
- （5）
  吐出量：Q_a1 = 1.8 × 2 = 3.6L/min（60Hz）
  2連同時駆動ポンプは1連式と同じくQ_a1の記号を用いますが、これは2倍の流量を持つ1台のポンプを使用するのと同じことと考えられるからです。（3連同時駆動の場合も3倍の値をQ_a1とします。）
- （6）
  重力加速度：g = 9.8m/sec²
«手順3»
管内流速を求める。
式（3）にQ_a1とdを代入します。
«手順4»
粘度の単位をストークス（St）単位に変える。式（6）
«手順5»
レイノルズ数（Re）を求める。式（4）
«手順6»
レイノルズ数が2000以下（層流）であることを確かめる。
Re = 5.76 < 2000 → 層流
«手順7»
管摩擦係数λを求める。式（5）
«手順8»
hfを求める。式（1）
«手順9»
△Pを求める。式（2）
△P = ρ・g・hf × 10^-6 = 1200 × 9.8 × 33.433 × 10^-6 = 0.393（MPa）
«手順10»
結果の検討。
摩擦抵抗だけをみるとFXD2-2の最高許容圧力（0.5MPa）と比べてまだ余裕があるようです。しかし配管途中にはスタティックミキサーが設置されており、更に吐出端が圧力タンク中にあることから、これらの圧力の合計（0.2 + 0.15 = 0.35MPa）を加算しなければなりません。
したがってポンプにかかる合計圧力（△P_total）は、
△P_total = 0.393 + 0.35 = 0.743（MPa）
となり、配管条件を変えなければ、このポンプは使用できないことになります。
- ※
  ここでスタティックミキサーと圧力タンクの条件を変更するのは現実的には難しいでしょう。したがって、この圧力合計（0.35MPa）を一定とし、配管（パイプ）径を太くすることによって圧力損失を小さくする必要があります。つまり配管の圧力損失を0.15（0.5 - 0.35）MPa以下に低下させなければならないということです。
  式（7）を変形すると
  となります。